今天无意刷到一个视频，发现关于最值的方法挺多的，以前只知道其中几个。不过作者做的视频不够严谨，有一些错误，于是查了一些资料做了修正，以供后续学习！
顺便让爸爸解决了网站不支持数学公式的问题。

数学最值问题是代数、几何、三角等领域的核心题型，解法灵活，需综合运用知识与转化思路。常用的十种解法涵盖柯西不等式、换元法、数形结合、对偶式、导数法、拉格朗日乘数法、齐次化、权方和、向量法和求导法，覆盖数学关键思想，能高效解题，助力构建完整体系，理解分支联系，突破复杂问题。

$$已知 x^{2}+y^{2}=1，求 3x+4y的最大值。$$

1. 柯西不等式

柯西不等式的二维形式为：
\( (ax + by)^{2} \leq (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\)，等号成立当且仅当\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)。
令\(a=3 ， b=4\)，则 \((3x + 4y)^{2} \leq (3^{2}+4^{2})(x^{2}+y^{2})\)。
代入\(x^{2}+y^{2}=1\) ，得 \( (3x + 4y)^{2} \leq 25×1=25 ，即 ∣3x+4y∣≤5 \)。
故 \(3x+4y\) 的最大值为 5 。
（等号成立时 \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) ​，结合 \(x^{2}+y^{2}=1\)，得\(x = \frac{3}{5}\) ， \(y = \frac{4}{5}\) ​）。

2. 三角函数换元法（辅助角公式）

由\(x^{2}+y^{2}=1\)，可设 \(x=cosθ ， y=sinθ \) （ θ 为参数，单位圆的参数方程）。
则 \( 3x+4y=3cosθ+4sinθ \)。
根据辅助角公式：\( asinθ+bcosθ= \sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(θ+φ) \)（其中 φ 为辅助角），
可得 \( 3cosθ+4sinθ=5sin(θ+φ) \)，其中\( \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。
由于 sin(θ+φ) 的最大值为 1，故 \(3x+4y\) 的最大值为 5 。

3. 数形结合

设\(k=3x+4y\)，则方程可化为直线\(3x+4y−k=0\)。
问题转化为：当直线与单位圆\(x^{2}+y^{2}=1\)有交点时，求 k 的最大值。
圆心 (0,0) 到直线的距离 \(d=\frac{|k|}{y\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{|k|}{5}\) 。
当直线与圆相切时，距离 d 等于半径 1 ，即\( \frac{|k|}{5} ​ =1\) ，得 ∣k∣=5 。
因此， k 的最大值为 5 （此时直线与圆相切于第一象限）。
故 \(3x+4y\) 的最大值为 5 。

4. 向量法

设向量 \(a=(x,y) ， b=(3,4) \)，则 \( 3x+4y=a⋅b \)(点积）。
根据向量点积的性质：\( a⋅b \leq ∣a∣⋅∣b∣ \)，
其中 \(∣a∣= \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1， ∣b∣= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 \)，
故 \(a⋅b \leq 1×5=5 \)，
即 3x+4y 的最大值为 5
（等号成立当且仅当 a 与 b 同向，即\(x = \frac{3}{5}\) ， \(y = \frac{4}{5}\) ​））。

5. 权方和

权方和不等式常用的形式:
\( \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}} + \frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}^{2}}{b_{3}} + \cdots + \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}} \geq \frac{(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})^{2}}{b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n}} \)
即\(x^{2} + y^{2} = \frac{(3x)^{2}}{9} + \frac{(4y)^{2}}{16} \geq \frac{3x + 4y^{2}}{25}\)
故 \(3x+4y \leq 5 \) 。

6. 对偶式

\((3x+4y)^{2} + (4x=3y)^{2} = 25(x^{2}+y^{2}) = 25 \)
即 \(（3x+4y)^{2} \leq 25 \)
故 \(3x+4y 最大值是 5 \) 。

7. 万能k法 (代数消元法）

设\(k=3x+4y\), 则\( y=\frac{k-3x}{4} \)
代入 \(x^{2}+y^{2}=1\)
\(x^{2}+(\frac{k-3x}{4})^{2}=1\)
即 \( 25x^{2} – 6kx + (k^{2}-16) = 0 \)
这是关于x的二次方程，有实根则判别式\(\Delta \geq 0 \)：
\( (-6k)^{2}−4⋅25⋅(k^{2}−16) \geq 0 \)
解得 \( k^{2} \leq 25 \)
故 \(3x+4y 最大值是 5 \) 。

8. 求导法(单变量函数求导法)

由 \(x^{2}+y^{2}=1\)，得 \(y=\sqrt{1-x^{2}} \)（求最大值时取正根）
则 \(f(x)=3x+4y=3x+4\sqrt{1-x^{2}}\), 求导得
\( f'(x)=3+4\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}=3-\frac{4x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
令\( f'(x)=0 \), 得\(3-\frac{4x}{\sqrt{1-x^{2}}} = 0 \)
解得 \( x = \frac{3}{5}\) （正值），此时 \( y = \frac{4}{5}\)
故 \(f(x)=3x+4y=3×\frac{3}{5} +4×\frac{4}{5}=5\) ，即最大值为 5 。

9. 齐次化

设\(k=3x+4y\) ，两边平方得： \(k^{2} =(3x+4y)^2\)
利用约束条件\(x^{2}+y^{2}=1\)
\(k^{2} =(3x+4y)^2=\frac{(3x+4y)^2}{x^{2}+y^{2}} \)
对分子\( (3x+4y)^2\)应用柯西不等式：\((3x+4y)^2 \leq (3^{2}+4^{2})(x^{2}+y^{2})\)
由于\(x^{2}+y^{2}=1\)，代入得：\( (3x+4y)^{2} \leq 25⋅1 \Longrightarrow k^{2} \leq 25 \Longrightarrow ∣k∣ \leq 5\)
当且仅当 \(\frac{x}{4} ​ = \frac{y}{4} ​\) （柯西不等式等号成立条件），结合\(x^{2}+y^{2} =1 \)，解得\( x= \frac{3}{5} ​ ， y=\frac{4}{5}​ \)，此时 k=5 。
故 \(3x+4y 最大值是 5 \) 。

10. 拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：\( L=3x+4y+\lambda(x^{y} + y^{2} −1) \), 其中\(\lambda\)为乘数。
求偏导数并令其为 0：
\(\frac{∂L}{∂x}=3+2\lambda x = 0 \Longrightarrow x=-\frac{3}{2\lambda}\)
\(\frac{∂L}{∂y}=4+2\lambda y = 0 \Longrightarrow y=-\frac{2}{\lambda}\)
\( \frac{∂L}{∂\lambda}=x^{2}+y^{2}-1= 0 \)
将x,y代入约束条件：
\((-\frac{3}{2\lambda})^{2}+(-\frac{2}{\lambda})^2=1\)
解得 \(\lambda = \pm \frac{5}{2}\)
当\(λ=- \frac{5}{2}​\)时，\(x=\frac{3}{5}，y=\frac{4}{5}\)，此时3x+4y=5为最大值。