小学最常见的21个数学思维问题

最近这段时间检查小王子数学作业时会经常见到一些思维题,而这些题在课本上是没有的,但是老师有布置和讲解相关类似的题!于是根据他最近做的和在网上看到的整理了一些常见题,里面有些问题现在还没有遇到。下面介绍的解题方法和思路并非唯一的,当然也不一定正确,仅供参考。

归一问题

含义

在解题时先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。

数量关系

总量 ÷ 份数 = 单一量
单一量 × 所占份数 = 所求几份的数量
总量A ÷(总量B ÷ 份数B)= 份数A

解题思路

先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

例题
买5支铅笔需要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?

先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12(元)
再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92(元)

综合算式:0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

归总问题

含义

解题时先找出“总数量”,再根据已知条件解决问题的题型。所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。

数量关系

1份数量 × 份数 = 总量
总量 ÷ 一份数量 = 份数

解题思路

先求出总数量,再解决问题。

例题
服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进剪裁方法后,每套衣服用布2.8米。问原来做791套衣服的布,现在可以做多少套衣服?

先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2(米)
再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904(套)

综合算式:3.2×791÷2.8=904(套)

和差问题

含义

已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少。

数量关系

大数 =(和+差)÷2
小数 =(和-差)÷2

解题思路

简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。

例题
甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?
解:直接套用公式——
甲班人数 =(98+6)÷ 2 = 52(人)
乙班人数 =(98-6)÷ 2 = 46(人)

和倍问题

含义

已知两个数的和及“大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)”,求这两个数各是多少。

数量关系

总和÷(倍数+1)= 较小数
总和 – 较小数 = 较大数
或 较小数 × 倍数 = 较大数

解题思路

简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。

解题方法

标(标示和值、倍数及大小对象)— 画 (画线段图,小数为1段)— 找(和对应的总份数)— 求(求一份)

例题
果园里有杏树和桃树共248棵,桃树是杏树的3倍,求杏树和桃树各有多少棵?
《小学最常见的21个数学思维问题》
解:先求杏树有多少棵——248 ÷(3+1)=62(棵)
再求桃树有多少棵——62 × 3=186(棵)

差倍问题

含义

已知两个数的差及“大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)”,求这两个数各是多少。

数量关系

两个数的差 ÷(倍数-1)= 较小数
较小数 × 倍数 = 较大数

解题思路

简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。

例题
果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵,求杏树和桃树各有多少棵?
《小学最常见的21个数学思维问题》
解:先求杏树有多少棵—— 124÷(3-1)=62(棵)
再求桃树有多少棵—— 62×3=186(棵)

倍比问题

含义

有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出倍数,再用倍比方法算出要求的数。

数量关系

总量A ÷ 数量A = 倍数
数量B × 倍数 = 总量B

解题思路

先求出倍数,再利用倍比关系求解。

例题
100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

解:先求倍数,3700千克是100千克的多少倍—— 3700÷100=37(倍)
再求可以榨油多少千克—— 40×37=1480(千克)

综合算式:40×(3700÷100)=1480(千克)

相遇问题

含义

两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇的问题。

数量关系

相遇时间 = 总路程 ÷(甲速+乙速)
总路程 =(甲速+乙速)× 相遇时间

解题思路

简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。

例题
南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,问经过几小时两船相遇?

解:直接套用公式 392÷(28+21)=8(小时)

追及问题

含义

两个运动物体在不同地点同时出发(或者 在同一地点不同时出发,或者在不同地点不同时出发)作相向运动。在后面的行进速度快,在前面的行进速度慢,在一定时间内,后者追上了前者的问题。

数量关系

追及时间 = 追及路程 ÷(快速-慢速)
追及路程 =(快速-慢速)× 追及时间

解题思路

简单题目直接套用上述公式,复杂题目变通后再套用公式。

例题
好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?

解:先求劣马先走了多少千米——75×12=900(千米)
再求好马几天能追上——900÷(120-75)=20(天)

综合算式:75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)

植树问题

含义

按相等的距离,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中两个量,求第三个量的问题。

数量关系

线性植树 棵数 = 距离 ÷ 棵距 + 1
环形植树 棵数 = 距离 ÷ 棵距
方形植树 棵数 = 距离 ÷ 棵距 – 4
三角形植树 棵数 = 距离 ÷ 棵距 – 3
面积植树 棵数 = 面积 ÷(棵距×行距)

解题思路

先弄清是哪种植树问题,再套用公式。

例题
一条河堤136米,每隔2米栽一棵柳树,头尾都栽,一共要栽多少棵柳树?
解:直接套用“线性植树”公式——
136÷2+1=68+1=69(棵)

年龄问题

含义

已知一个人的年龄,根据已知条件求另一个人的年龄。

数量关系

两人年龄差不变。

解题思路

抓住“年龄差不变”的特点,转化为和差倍比问题求解。

例题
爸爸今年37岁,亮亮今年7岁,几年后爸爸年龄是亮亮的4倍?
解:抓特点,先求年龄差——37-7=30(岁)
转化为和差倍比问题——30÷(4-1)-7=3(年)

综合算式:(37-7)÷(4-1)-7=3(年)

行船问题

含义

关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。船速即船只在静水中航行的速度,水速指水流速度,船只顺水航行是船速与水速之和,船只逆水航行是船速与水速只差。

数量关系

(顺水速度+逆水速度)÷ 2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷ 2=水速
顺水速度=船速 × 2 – 逆水速度 = 逆水速度 + 水速 × 2
逆水速度 = 船速 × 2 – 顺水速度 = 顺水速度 – 水速 × 2

解题思路

直接套用公式即可。

例题
一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水航行这段路程需用几小时?

解:直接套用公式——船速为320÷8-15=25(千米/小时)
船在逆水中的速度为25-15=10(千米/小时)
船逆水航行这段路程的时间为320÷10=32(小时)

《小学最常见的21个数学思维问题》

火车过桥问题

含义

这是与列车行驶有关的问题,解答时注意列车车身的长度。

数量关系

火车过桥:过桥时间 =(车长+桥长)÷ 车速

解题思路

利用数量关系及其变式求解。

例题
一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?
解:火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。
先求火车三分钟行多少米——900×3=2700(米)
再求火车长度——2700-2400=300(米)

综合算式:900×3-2400=300(米)

时钟问题

含义

研究钟面上时针与分针的关系问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针呈夹角等。

数量关系

分针的速度是时针的12倍。
二者的速度差为11/12。

解题思路

变通为“追及问题”或者“差倍问题”求解。

例题
从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合。
解:根据数量关系,每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整时,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以分针追上时针的时间为

20÷(1-1/12)≈22分

盈亏问题

含义

根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或者两次都有余,或者两次都不足的问题。

数量关系

一盈一亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差

两次都盈或两次都亏,则有:
参加分配总人数 =(大盈-小盈)÷ 分配差
参加分配总人数 =(大亏-小亏)÷ 分配差

解题思路

分清是哪种盈亏问题,直接套用公式。

例题
给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少个小朋友?有多少个苹果?

解:一盈一亏问题,直接套用公式——
先求有小朋友多少人:(11+1)÷(4-3)=12(人)
有多少个苹果:3×12+11=47(个)

工程问题

含义

研究工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系。

数量关系

工作量 = 工作效率 × 工作时间
工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率
工作时间 = 工作量 ÷(甲的工作效率+乙的工作效率)

解题思路

解答问题的关键是把工作总量看做“1”,再套用公式。

例题
一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?

解:把此项工程看作单位“1”,那么甲每天完成1/10,乙每天完成1/15,两队合作每天完成(1/10+1/15),由此可列出算式 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

牛吃草问题

含义

这个问题是大科学家牛顿提出的,这类问题的特点在于要考虑草边吃边长的因素。

数量关系

草总量 = 原有草量 + 草每天生长量 × 天数

解题思路

关键是求草每天的生长量。

例题
一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解:设每头牛每天吃草量为1,根据公式分5步解答:
求草每天的生长量:50÷(20-10)=5
求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量
=1×15×10-5×10=100
求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
求多少头牛5天吃完草:125÷(5×1)=25(头)

鸡兔同笼问题

来源

源自古代一道著名趣题,记载于《孙子算经》之中,是小学奥数中常见的题型。

含义

这是古典的算术问题,第一类是已知鸡兔共有多少只和多少只脚,求鸡兔各有多少只的问题;
另一类是已知鸡兔总数和鸡脚与兔脚之差,求鸡兔各有多少只的问题。

数量关系

第一类问题:
假设全都是鸡,则有
兔数 =(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔,则有
鸡数 =(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二类问题:
假设全都是鸡,则有
兔数 =(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔,则有
鸡数 =(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

解题思路

分清是哪一类鸡兔同笼问题,然后套用公式即可。

解题方法

1. 人见人爱“列表法”
如果二年级学生做这道题,可以用列表法。列表法容易理解,同时也是数学中一个重要的方法,学会后,为以后的学习打下坚实的基础。

2. 最快乐“画图法”
画图法也是低年级学生很好接受的一种方法,可以让数学变得形象化,有助于创造力的培养。假设全部是鸡,先把鸡画好,然后计算并补上兔子。

3. 最酷“金鸡独立法”
让每只鸡都一只脚站立,每只兔都用两只后脚站立,那么地上的总脚数是原来的一半。鸡的脚数与头数相同,而兔的脚数是兔的头数的2倍。

4. 最逗“吹哨法”
假设及和兔接受过特种部队训练,吹一声哨,它们抬起一只脚,计算出有多少条腿在站着,再吹一声哨,它们又抬起一只脚,这时鸡都一屁股坐地上了,兔子还有两只脚立着。

5. 最常用“假设法”
假设全部是鸡,则有多少条腿,比实际多或少多少条,一只鸡变成一只兔子腿增加2条 。。。。。。

6. 最牛“特异功能法”
鸡有2条腿,比兔子少2条,这不公平,但是鸡有2只翅膀,兔子却没有。假设鸡有特异功能,把两只翅膀变成2条腿,那么鸡也有4条腿,计算此时腿的总数,与实际对比。

7. 最古老“砍足法”
假如把每只鸡砍掉1只脚、每只兔砍掉2只脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,鸡和兔脚的总数就只有一半了,如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总数与总头数的差,就是兔子的只数。

8. 最坑“耍兔法”
喊口令:“兔子,耍酷!” 此时兔子们都把两只前脚高高抬起,两只后脚着地,呈酷酷的姿态,此时鸡兔都是两只脚着地。计算出此时在地上脚的总数,除以2就是兔子的只数。

9. 最万能“方程法”
适用于高年级,设鸡的数量为x只 。。。。。。

例题
《孙子算经》:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
鸡兔同笼,共有35只头,94只脚,问鸡兔分别多少只?
解:假设笼子里全是兔子,则根据公式
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=94-23=12(只)

商品利润问题

含义

关于成本、利润、利润率、亏损、亏损率等方面的问题。

数量关系

利润 = 售价 – 进价
利润率 -(售价-进价)÷ 进价 × 100%
售价 = 进价 ×(1+利润率)
亏损 = 进货价 – 售价
亏损率 =(进货价-售价)÷ 进货价 × 100%

解题思路

利用公式及其变式即可解答。

例题
某商量的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?

解:设这种商品原价为“1”,则一月份售价为(1+10%),二月份售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了 1-(1+10%)×(1-10%)=1%

存款利率问题

含义

关于本金、利率、存期三个因素的问题。

数量关系

年(月)利率 = 利息 ÷ 本金 ÷ 存款年(月)数 × 100%
利息 = 本金 × 存款年(月)数 × 年(月)利率
本利和 = 本金 + 利息 = 本金×(1+年(月)利率 × 存款年(月)利率)

解题思路

直接套用公式即可。

例题
大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长?

解:先求总利息是(1488-1200)元,
再求总利率为(1488-1200)÷1200
则存款月数为(1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

溶液浓度问题

含义

关于溶剂(水或其他液体)、溶质、溶液、浓度几个量之间关系的问题。

数量关系

溶液 = 溶剂 + 溶质
浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%

解题思路

利用公式及其变式,进行分析计算,即可解题。

例题
现有16%的糖水50克,要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?
解:直接根据公式 50×16%÷10%-50=30(克)

列方程问题

含义

把题目中的未知数用字母X代替,列出等量关系式,解出X的问题。

数量关系

方程等号左右两边是等量关系。

解题思路

可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
审:认真审题,找出已知条件和待求问题。
设:将未知数设为X。
列:根据已知条件,列出方程。
解:求解所列方程。
验:检验方程的等量关系及求解过程是否正确。
答:写答语,回答题目所问。

例题
甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?

解:设乙班有X人,则甲班有(90-X)人,
根据等量关系可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40,从而得90-40=50
答:甲班50人,乙班40人。

其实有部分问题如果用画线段图的方法比较容易理解和解答,文章比较长,就没有一一画图了,大家有兴趣可以试试!

历史上的今天
12月
11
阿和, 小陆花, 青萌, Mr.Chou等人对本文发表了10条热情洋溢的评论。
  1. 阿和说道: 5 QQ浏览器 Windows 7

    看着有点晕。。。

    1. 老王说道: Safari Mac OS X 10_15_6

      用电脑浏览就不晕了 😂

      1. 阿和说道: 5 QQ浏览器 Windows 7

        就是用电脑浏览的,看到旁边这么一长列的,就有点吓到了。。。

        1. 老王说道: Safari Mac OS X 10_15_6

          想看哪个就点那个就行了,吓啥。。。 😅

  2. 小陆花说道: 2 QQ浏览器 Linux

    看到数学就头痛。高考数学只有30几分...

    1. 老王说道: Safari Mac OS X 10_15_6

      不要骗我。。。

  3. 青萌说道: 3 Chrome Windows 10

    身为家长,这个值得学习一下...

    1. 老王说道: Safari Mac OS X 10_15_6

      必须要学呀,不然没法辅导作业 。。。。。。😂

  4. Mr.Chou说道: 3 Chrome Windows 10

    说实话,我最不在行的就是算数~只会简单的加减乘除。其他的看到就头疼..

    1. 老王说道: Safari Mac OS X 10_15_6

      和你刚好相反,读书时数学是我的最爱科目。。。 😂

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