初中数学
前言
一、有理数
有理数的概念和分类
正数和负数
大于0的数叫正数，小于0的数叫负数。
有理数的分类
有理数：整数和分数统称为有理数。
按性质分：
text{\text{有理数}}
begin{cases}
text{\text{正有理数：}} & text{\text{正整数}} & text{\text{正分数}} \
0 \
text{\text{负有理数：}} & text{\text{负整数}} & text{\text{负分数}}
end{cases}
$$
按定义分：
text{\text{有理数}}
begin{cases}
text{\text{整数：}} & text{\text{正整数}} & 0 & text{\text{负整数}} \
text{\text{分数：}} & text{\text{正分数}} & text{\text{负分数}}
end{cases}
$$
非正有理数包括0和负有理数，非负有理数包括0和正有理数。
数轴及三要素
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数、绝对值和倒数
相反数
像2和-2, 5和-5这样，只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
性质：若a, b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a, b互为相反数。
绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，反之，绝对值越小。
奇点偶段法
倒数
乘积是1的两个数互为倒数，乘积是-1的两个数互为负倒数。
有理数的运算法则
有理数的加、减法法则
加法：
同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数，即
$$a-b=a+(-b)$$
有理数的乘、除法法则
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任意数与0相乘都得0。
除法
除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即
$$adiv b=acdotfrac{1}{b} quad (bneq 0)$$
有理数的乘方
乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。如图，a是底数，
$$a^n=underbrace{acdot acdots a}_{ntext{\text{个}}a}$$，n是指数，$a^n$叫幂。
科学计数法
把一个大于10的数表示成$acdot 10^n$的形式（$1leq aleq 10$，n是正整数）。
有理数的运算律
五大运算律
加法交换律： $a+b=b+a$
加法结合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律： $ab=ba$
乘法结合律： $(ab)c=a(bc)$
乘法分配律： $a(b+c)=ab+ac$
有理数的混合运算
在同级运算中，要按照从左到右的顺序来计算，如果无括号，那么按照”先乘方，再乘除，最后再加减”的顺序；如果有括号，先算括号里面的（先小括号，再算中括号，最后算大括号）。
二、实数
平方根和立方根
算术平方根
一般地，如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$,那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0；非负数a的算术平方根记为”$sqrt{a}$“，读作”根号a”，其中a叫做被开方数。
平方根
如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫作$a$的平方根或二次方根。这就是说，如果$x^2=a$，那么$x$叫作$a$的平方根。正数$a$的平方根表示为$pmsqrt{a}$，读作”正、负根号$a$“。
立方根
如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫作$a$的立方根或三次方根。这就是说，如果$x^3=a$，那么$x$叫作$a$的立方根。
一个数$a$的立方根，用符号”$sqrt[3]{a}$“表示，读作”三次根号$a$“，其中$a$是被开方数，3是根指数。
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方所得的结果就是立方根。
三者区别和联系
| 算术平方根 | 平方根 | 立方根 | |
|---|---|---|---|
| 表示方法 | $sqrt{a}$ | $pmsqrt{a}$ | $sqrt[3]{a}$ |
| $a$的取值 | $ageq 0$ | $ageq 0$ | $a$是任意实数 |
| 正数 | 正数（1个） | 互为相反数（2个） | 正数（1个） |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 负数 | 无 | 无 | 负数（1个） |
| 开方 | 求一个数的平方根的运算叫开平方 | 求一个数的立方根的运算叫开立方 | |
| 是本身的数 | 0, 1 | 0 | 0, 1, -1 |
无理数
无限不循环小数叫作无理数，如：$pi$，$sqrt{2}$等。
无理数不能写成分数的形式（两个整数的商）。
常见的无理数：
- 开方开不尽的数的根，如：$sqrt{2}$，$-sqrt{7}$等；
- 圆周率$pi$以及一些含有$pi$的式子，如：$pi$，$pi+2$等；
- 有特定结构的无限不循环小数，如：$0.101001000100001cdots$；
无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能。
实数
实数
实数是有理数和无理数的总称。
实数与数轴上的点是一一对应的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。初中阶段，数的范围即指”实数”。分类
注意弄清楚分类标准，并注意0的分类。实数的运算
运算法则
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加减、乘除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质和运算律等同样适用。
运算顺序
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号内的。
注意正确进行开平方、开立方运算。三、整式
概念
代数式
用运算符号，如：+、-、×、÷等，将数或表示数的字母连接起来，所得的式子叫代数式。
单独的一个数或一个字母也叫代数式，如：2、$a$。单项式
由数字与字母积组成的代数式叫单项式，单独的一个数字或一个字母也叫单项式。
单项式可能是数与字母的积，数与数的积，还可能是字母与字母的积。多项式
几个单项式的和叫多项式。
在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。
多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个这个多项式的次数。命名时，注意几次几项式书写要用”汉字”；多项式的每一项都包含其前面的符号。整式
单项式与多项式统称为整式。
如果一个式子既不是单项式也不是多项式，那它一定不是整式。加减运算
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。
几个常数项也是同类项。
如：$-a^2b$、$3a^2b$是同类项，$-frac{1}{2}x^2y^3$与$x^2y^3$是同类项。两相同：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；两无关：与系数无关，与字母顺序无关。
合并同类项
把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数各，且字母连同它的指数不变。先标记出同类项，再进行合并，注意不要漏项。乘除运算
幂运算
同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
$$a^mcdot a^n = a^{m+n} quad (m\text{，}ntext{\text{都是正整数}})$$
【拓展】 $$a^mcdot a^ncdot a^k = a^{m+n+k} quad (m\text{，}n, ktext{\text{都是正整数}})$$幂的乘方：
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
$$(a^m)^n=a^{mn} quad (m\text{，}ntext{\text{都是正整数}})$$
【拓展】$$((a^m)^n)^k=a^{mnk} quad (m\text{，}n\text{，}ktext{\text{都是正整数}})$$积的乘方
积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂的相乘，即
$$(ab)^n=a^nb^n quad (ntext{\text{为正整数}})$$
【拓展】$$(abc)^n=a^nb^nc^n quad (ntext{\text{为正整数}})$$同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即
$$a^mdiv a^n = a^{m-n} quad (m,ntext{\text{都是正整数，且}}aneq 0)$$结合遇到的问题，选择正确的公式进行运算。单项式、多项式的乘除法
单 × 单
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，如：
$$2abc cdot 3ab^2=(2times 3)cdot(acdot a)cdot(bcdot b^2)cdot c=6a^2b^3c$$单 × 多
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
$$m(a+b+c) = ma + mb +mc$$多 × 多
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的及相加，即
$$(a+b)(m+n)=am+an +bm+bn$$单 ÷ 单
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式，即
$$6a^2b^3cdiv 2ab=3ab^2c$$多 ÷ 单
多项式除以单项式就是用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加，如：
$$(6a^2b^3c+4a^2b+2ab)div 2ab=3ab^2c+2a+1$$乘法公式
平方差公式
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，即
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$完全平方公式
两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍，即
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$两个数的差的平方
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍，即
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$化简求值
一般步骤
一化、二代、三计算
即先按照整式加、减、乘、除、乘方的运算法则进行整式的化简，再将相关数值或条件代入并计算。注意运算顺序、法则、符号正确与否。因式分解及常用方法
因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作把这个多项式分解因式或因式分解。
因式分解和整式乘法是互逆关系；学会辨别一个过程是否是因式分解。
常用方法
提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提取公因式。
公因式可能是单项式也可能是多项式；公因式要一次提净且不能漏掉为”1″的项。
公式法
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
- 运用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- 运用完全平方公式：$a^2pm 2ab+b^2 = (apm b)^2$
先看各项有无公因式，再看能否用公式，公式选择要正确，且注意分解彻底。
十字相乘法
十字相乘法用于二次三项式的分解因式，对于像$ax^2+bx+c$这样的整式来说，这个方法的关键就是把二次项系数$a$分解成两个因数$a_1$和$a_2$的积，把常数项$c$分解成两个因数$c_1$和$c_2$的积，并使$a_1c_2+a_2c_1$正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果：
$$ax^2+bx+c=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$$重点在于不断尝试，直到凑出一次项系数，同时注意符号问题。分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法。
常见的分组方法有2+2，3+1，3+2，3+3等。注意步骤：1.根据项数和每一项的情况尝试分组；
2.判断每一组内提完公因式或用完公式之后如何继续进行分解；
3.按照可能的分组方式完成彻底分解。四、分式
分式相关概念
分式
一般地，如果$A, B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$frac{A}{B}$叫做分式，其中$A$叫做分子，$B$叫作分母。
分式中分母必须含有字母；注意$pi$是数字而非字母。分式有意义的条件
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当$Bneq 0$时，分式$frac{A}{B}$才有意义。
分母不为0是分式成立的前提。分式值为0的条件
分式$frac{A}{B}$的分母不为0且分子为0时，即当$Bneq 0$且$A=0$时，分式$frac{A}{B}$的值为0。
分母不为0与分子为0是”且”的关系，两者缺一不可。分式的基本性质及恒等变形
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即
$$frac{A}{B}=frac{Acdot C}{Bcdot C} quad (Cneq 0) quadtext{\text{或}}quad frac{A}{B}=frac{Adiv C}{Bdiv C} quad (Cneq 0)$$
其中$A,B,C$均为整式。同乘（或除以）的必须是同一个整式，且此整式不能为0，必要时需进行说明。分式的约分及最简分式
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。
经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，叫作最简分式。若分子分母为多项式，需先进行因式分解再约分，且结果要化为最简分式或整式。分式的通分及最简公分母
与分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这样的分式变形叫作分式的通分。
取各分式分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母。若分母都是单项式，则最简公分母就是各系数的最小公倍数及相同字母最高次幂和不同因式的积；若分母是多项式，则需将分母进行因式分解，再求最简公分母。
分式的运算
分式的加减法法则
同分母分式相加减，分子相加减，分母不变，即
$$frac{a}{b} pm frac{c}{b}=frac{apm c}{b}$$
异分母分式相加减，先通分，变为相同分母的分式，再加减，即
$$frac{a}{b} pm frac{c}{d}=frac{ad}{bd} pm frac{bc}{bd} = frac{adpm bc}{bd}$$若分母出现互为相反数的情况，则要注意整体提出负号。分式的乘除法及乘方法则
分式乘分式，用分子的积作分子，分母的积作分母，即
$$frac{a}{b} cdot frac{c}{d}=frac{acdot c}{bcdot d}$$
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
$$frac{a}{b} div frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c} = frac{acdot d}{bcdot c}$$
分式乘方，要把分子、分母分别乘方，即
$$left(frac{a}{b}right)^n = frac{a^n}{b^n} quad (ntext{\text{是正整数}})$$乘法注意先定符号； 除法注意”见 ÷ 变 ×”及求倒数；乘方注意在分子和分母分别乘方时勿漏掉系数乘方。分式的混合运算及分式化简
分式的混合运算应先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。
也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来进行分式化简。在分式的混合运算或分式化简时，要注意运算顺序及运算符号；遇到化简求值问题时，要先化简，再代入求值。
二次根式
相关概念
二次根式
一般地，我们把形如$sqrt{a} quad (ageq 0)$的式子叫作二次根式，”$sqrt{quad}$“称为二次根号。
根号内大于或等于0的才是二次根式。二次根式有意义的条件
要使带有二次根号的式子有意义，就要使其被开方数为非负数。
若二次根式中含有分母，则要注意分母的值不能为零。最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
- 被开方数不含分母；
- 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
被开方数不含分母有两层涵义，即根号内不能有分母和分母不能带根号。
分母有理化
分母有理化又称有理化分母，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程。
根据分式的基本性质，将分子和分母同时乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。注意：分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
同类二次根式及合并同类二次根式
某些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫作同类二次根式。
合并被开方数相同的二次根式的过程就是合并同类二次根式。对于是否为同类二次根式，要先化成最简二次根式后再判断； 只有同类二次根式才能合并。性质
（1） 二次根式的双重非负性：对于$sqrt{a}$，有$ageq 0$且$sqrt{a}geq 0$
（2） $(sqrt{a})^2 = a quad (ageq 0)$
（3） $$sqrt{a^2}=|a|=begin{cases}
a & (a>0) \
0 & (a=0) \
-a & (a<0)
end{cases}$$
尤其要注意区分性质（2）和性质（3），两者表示的意义及$a$的取值范围均不同；（2）表示一个非负数先开方后平方，（3）则表示一个实数先平方再开方。
运算
加减
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。即$sqrt{a} cdot sqrt{b} = sqrt{ab} quad (ageq 0\text{，}bgeq 0)$
二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即$sqrt{a} div sqrt{b} = sqrt{frac{a}{b}} quad (ageq 0\text{，}bgeq 0)$
混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的（或先去掉括号）。
五、一元一次方程
等式的概念和性质
等式
用等号”=”来表示相等关系的式子。
等式的性质
性质1
等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果$a=b$, 那么$a+c=b+c$。
性质2
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果$a=b$, 那么$ac=bc$；如果$a=b quad (cneq 0)$，那么 $frac{a}{c}=frac{b}{c}$。
方程和解的概念
方程
含有未知数的等式叫作方程。
一元一次方程
只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。
方程的解
方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程： 求方程解的过程。
解一元一次方程的步骤
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。
各环节的注意事项如下：
| 变形名称 | 变形原理 | 注意事项 |
| :———:|:———-:|————|
| 去分母 | 等式性质 |(1) 不含分母的项不要漏乘；(2) 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号。|
| 去括号 | 乘法分配律 |(1) 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；(2) 如果括号前是”-“号，去括号时，括号内各项要变号。|
| 移项 | 等式性质1 | (1) 移项必须变号；(2) 一般把含未知数的项移到左边，其它项移到右边。|
|合并同类项|整式加减| 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变|
|系数化为1|等式性质2|分子、分母不要颠倒|
列方程解一般应用题的步骤
- 审：弄清题意和题目中的数量关系；
- 设：用字母表示题目中的一个未知量；
- 列：根据等量关系列出方程；
- 解：解所列方程，求出未知数的值；
- 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义；
- 答：写出答案。
设未知数常有两种方法：直接设元，间接设元。
列方程解应用题的常见类型
应用题类型
常用公式
重点掌握
和差倍分问题
现在量 = 原有量 + 增长量； 现有量=原有量-降低量
弄清”倍数”及”多/少”关系等。
行程问题
相遇：路程各=速度和 × 相遇时间
注意分清相遇还是追及问题；流水行船中，静水速度不变。
追及：路程差=速度差 × 追及时间
流水行船： 顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度-水流速度
工程问题
工作量=工作效率 × 工作时间
经常把工作总量当作”单位1″
销售问题
利润=售价-进价售价=定价×(折扣/10) 利润率=(利润/进价) × 100%
利润率公式中，注意分母是进价
储蓄问题
利息=本金 × 利率 × 期数 本息和 = 本金 + 利息 = 本金 × (1 + 利率 × 期数)
配套问题
A型的产品总数 : B型的产品总数 = 一套中A的数量 : 一套中B的数量
注意比例，避免比例列错
浓度问题
溶液质量=溶质质量+溶剂质量 百分比浓度=(溶质质量/溶液质量）× 100%
注意加水前后溶剂、溶液的变化